جبرهای مثلثی و مشتقات لی

فرض‎ کنیم ‎‎$‎r‎$‎ حلقه ای جابجایی و یکدار‏، ‎‎$‎a‎$‎ و ‎‎$‎b‎$‎‎ جبر های یکدار بر روی ‎‎$‎r‎$‎ و ‎‎$‎m‎$‎ یک ‎‎$‎(a,b)‎$-‎ دو مدول باشد که ‎‎$‎m‎$‎ به عنوان یک ‎‎$‎a‎$-‎ مدول چپ وفادار و ‎‎$‎b‎$-‎ ‎مدول راست وفادار است. فرض کنیم ‎‎$‎left[ {egin{array}{*{20}c} a & m 0 & b end{array}} ight]‎‎$‎‎‎ ‎‎‎‎‎‎$‎‎‎‎‎mathcal{‎t}=‎‎‎$‎‎ ‎جبر مثلثی شامل ‎‎$‎a‎$‎، ‎‎$‎b‎$‎ و ‎‎$‎m‎$‎ است در این جا مشتقات سه تایی لی از ‎‎$‎mathcal{t}‎$‎ را مورد مطالعه قرار می دهیم که با داشتن دو شرط بر روی جبر مثلثی هر مشتق سه تایی لی بر روی ‎‎$‎mathcal{t}‎$‎ به شکل استاندارد است یعنی به صورت مجموعی از یک مشتق جمعی و تابع خطی می باشد که بر روی دومین جابجاگر های ‎‎$‎mathcal{t}‎$‎ صفر است. مثال هایی از جبر های مثلثی و مشتقات سه تایی لی بر روی آن ها را نیز آورده ایم. در حالت کلی به بررسی مشتقات سه تایی لی بر روی جبر ماتریسی ‎‎$‎m‎_{n}(a)‎$‎‎ پرداخته ایم که تناظری بین مشتقات سه تایی لی بروری جبر ماتریسی ‎‎$‎m‎_{n}(a)‎$‎‎ و مشتق بر روی جبر دلخواه ‎‎$‎a‎$‎ برقرار است.